等差数列的性质,等差数列的性质有什么？
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1，等差数列的性质有什么？
基本性质
⑴数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S
可以写成S
=
an^2
+
bn的形式(其中a、b为常数)．
⑵在等差数列中，当项数为2n
(n∈
N+)时，
S偶－S奇
=
nd，
S奇÷S偶=an÷a（n+1）
；当项数为(2n－1）(n∈
N+)时，S奇—S偶=a中
，S奇÷S偶
=n÷（n-1）
．
⑶若数列为等差数列，则S
n，S2n
－Sn
，S3n
－S
2n，…仍然成等差数列，公差为k^2d
．
(4)若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则am/bm=S2m-1/T2m-1.
⑸在等差数列中，S
=
a，S
=
b
(n>m)，则S
=
(a－b)．
⑹等差数列中，
是n的一次函数，且点（n，
）均在直线y
=
x
+
(a
－
)上．
⑺记等差数列的前n项和为S
．①若a
>0，公差d<0，则当a
≥0且an+1≤0时，S
最大；②若a
<0
，公差d>0，则当a
≤0且an+1≥0时，S
最小．
[8)若等差数列S(p)=q,S(q)=p,则S(p+q)=-(p+q)
6特殊性质
在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和；特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍,
即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中
例：
数列：1，3，5，7，9，11中
a(1)+a(6)=12
;
a(2)+a(5)=12
;
a(3)+a(4)=12
;
即，在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和。
数列：1，3，5，7，9中
a(1)+a(5)=10
;
a(2)+a(4)=10
;
a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5
;
即，若项数为奇数，和等于中间项的2倍,另见，等差中项.
2，等差数列性质
（1）数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S =+的形式(其中a、b为常数)。 （2）在等差数列中，当项数为2n (n∈ N+)时，S偶－S奇 = nd，S奇÷S偶= ；当项数为(2n－1）(n∈正整数)时，S奇-S偶=a（中），S奇-S偶=（中） ，S奇÷S偶 =n÷（n-1）。（3）若数列为等差数列，则，，，…仍然成等差数列，公差为。 （4）若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则=。 （5）在等差数列中，S = a，S = b (n>m)，则S = (a－b)。 （6）记等差数列的前n项和为S。①若a >0，公差d0，则当a ≤0且an+1≥0时，S 最小。 （7）若等差数列S(p)=q,S(q)=p，则S(p+q)=-(p+q)。
3，等差数列和等比数列的性质
等差数列的性质：
1）在有限等差数列中，与首末两项等距离的两项的和都等于首末两项的和：
2）各项同加一数所得数列仍是等差数列，并且公差不变；
3) 各项同乘以一不为零的数K,所得的数列仍是等差数列，并且公差是原公差的K倍；
4) 几个等差数列，它们各对应项的和组成的数列仍是等差数列，公差等于各个公差的和；
5）an 是 n 的一次函数，Sn是n的二次函数，定义域是自然数，同时，有an=Sn-Sn_1(n≥2）。【an---等差数列的通项，Sn---n项之和】
6） 若三个数x,A,y成等差数列，则A=(x+y)/2,A称为x,y的等差中项。公式
一般地，等差数列的计算问题的类型：
在等差数列里，a1,an,d,n,Sni5个元素中，只要已知三个，便可,通过通项公式和前n项和Sn的公式，求出另外两个元素。这类问题共有C(5,3)=10种。 【C(5,3)即5个中取3个的组合】
等比数列的性质：
1）在有限等比数列中，与首末两项等距离的两项的积都等于首末两项的积；
2）各项同乘以一不为零的数，所得的数列仍是等比数列，并且公比不变；
3）各项倒数所成的数列仍是等比数列，并且公比是原公比的倒数；
4) 几个等比数列，它们各对应项的积组成的数列仍是等比数列，公比等于各公比的积；
5）an,Sn都是n的指数函数，定义域为自然数。
6）若三个数x,G,y成等比数列，则G=±√xy.G称为x,y的等比中项。
7）无穷递减等比数列的和：Sn=a1/(1-q) (|q|<1).
等比数列的计算问题与等差数列类似，但由于等比数列的公比可能含有高次方，即会遇到解高次方程问题，具体问题具体分析就是了。
等差数列和等比数列的基本公式各类数学书上都有，此处不累述了。
上述的综合仅供参考。
4，等差数列的性质是什么
⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．
⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．
⑶若{an}{bn}为等差数列，则{
an
±bn
}与{kan
＋bn}(k、b为非零常数)也是等差数列．
⑷对任何m、n
，在等差数列中有：an
=
am
+
(n－m)d（m、n∈N+)，特别地，当m
=
1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．
⑸、一般地，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，am+an=ap+aq .
⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd(
k为取出项数之差)．
（7）下表成等差数列且公差为m的项ak.ak+m.ak+2m.....(k,m∈N+）组成公差为md的等差数列。
⑻在等差数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．
⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．
5，等差数列的性质
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示.
等差数列的通项公式为：
an=a1+(n-1)d (1)
前n项和公式为：
Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)
从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.
在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项.
且任意两项am,an的关系为：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式.
从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有
am+an=ap+aq
Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1
Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.
和＝（首项＋末项）*项数÷2
项数＝（末项-首项）÷公差＋1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
项数=(末项－首项）/公差＋1
等差数列的应用：
日常生活中,人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,长安等差数列进行分级.
若为等差数列,且有ap=q,aq=p.则a(p+q)＝－（p+q).
若为等差数列,且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0.
6，等比数列的性质与等差数列的性质
等差数列
通项公式
an=a1+(n-1)d an=Sn-S(n-1) (n≥2) an=kn+b(k,b为常数)
前n项和
倒序相加法推导前n项和公式： Sn=a1+a2+a3······+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ① Sn=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ② 由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)（n个）=n(a1+an) 固 Sn=n(a1+an)/2 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半： Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2 Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n
性质
且任意两项am，an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…，n} 若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有 am+an=ap+aq S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列，等等。 和=（首项+末项）×项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 首项=2和÷项数-末项 末项=2和÷项数-首项 设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项，则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。
等比数列
通项公式
an=a1q^(n-1) an=Sn-S(n-1) (n≥2)
前n项和
当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) 当q=1时，等比数列的前n项和的公式为 Sn=na1
性质
任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。 记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 性质： ①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq； ②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。 “G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”. (5) 等比数列前n项之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。 注意：上述公式中a^n表示A的n次方。
7，等差等比数列的性质
⑴数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S
可以写成S
=
an^2
+
bn的形式(其中a、b为常数)．
⑵在等差数列中，当项数为2n
(n
N
)时，S
－S
=
nd，
=
；当项数为(2n－1)
(n
)时，S
－S
=
a
，
=
．
⑶若数列为等差数列，则S
，S
－S
，S
－S
，…仍然成等差数列，公差为
．
⑷若两个等差数列、的前n项和分别是S
、T
(n为奇数)，则
=
．
⑸在等差数列中，S
=
a，S
=
b
(n＞m)，则S
=
(a－b)．
⑹等差数列中，
是n的一次函数，且点（n，
）均在直线y
=
x
+
(a
－
)上．
⑺记等差数列的前n项和为S
．①若a
＞0，公差d＜0，则当a
≥0且a
≤0时，S
最大；②若a
＜0
，公差d＞0，则当a
≤0且a
≥0时，S
最小．
①若
m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；
②在等比数列中，依次每
k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
③若（an）是等比数列，公比为q1，（bn）也是等比数列，公比是q2，则
（a2n），（a3n）…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…
（can），c是常数，（an*bn），（an/bn)是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
（4）按原来顺序抽取间隔相等的项，仍然是等比数列。
（5）等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。
（6）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。
(7)
等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
(8)
数列{An}是等比数列，An=pn+q，则An+K=pn+K也是等比数列，
在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.
注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
(9)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。