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• 1，如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC
• 2，在△ABC中，角A,B,C所在的边分别为abc，
• 3，如图，在三角形abc中，角bac等于90度，ad垂直bc于d，be平分角abc交ad于点f，

1，如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC

解答：证明：在△ABC中，∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°．∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠OAC=∠OAB=12∠BAC，∠OCD=∠OCA=12∠ACB，在△OAC中，∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-12（∠BAC+∠ACB）=180°-12×120°=120°．∴∠AOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°．在AC上截取AF=AE，连接OF，如图，在△AOE和△AOF中，AE=AF，∠OAE=∠OAF，OA=OA，∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOE=∠AOF，∴∠AOF=60°．∴∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°．又∠COD=60°，∴∠COD=∠COF．在△COD和△COF中，∠COD=∠COF，OC=OC，∠OCD=∠OCF，∴△COD≌△COF（ASA），∴CD=CF．又∵AF=AE，∴AC=AF+CF=AE+CD，即AE+CD=AC．

2，在△ABC中，角A,B,C所在的边分别为abc，

　　(1) a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R( R为外接圆半径）
所以：sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
又：sin^2 A+sin^2 C-sin^2 B=sinAsinC
所以：a^2+c^2-b^2=ac --（1）
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/2
B=60^o

(2) 因为c=3a,代入（1）： a^2+c^2-b^2=ac
得 b=2a
再根据正弦定理 sinA=a/b*sinB=1/2*√3/2=√3/4
因为 b=2a, 根据大角对大边，所以A<B. 角A为锐角，则有
cosA=√13/4
则tanA=sinA/cosA=√39/13

3，如图，在三角形abc中，角bac等于90度，ad垂直bc于d，be平分角abc交ad于点f，

1、等腰△AEF
证明：
∵∠BAC＝90
∴∠ABC+∠C＝90
∵AD⊥BC
∴∠ABC+∠BAD＝90
∴∠BAD＝∠C
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE＝∠CBE
∵∠AEF＝∠BAD+∠ABE,∠AFE＝∠C+∠CBE
∴∠AEF＝∠AFE
∴AE＝AF
∴等腰△AEF
2、证明：
∵∠BAC＝90
∴∠ABC+∠C＝90
∵AD⊥BC
∴∠ABC+∠BAD＝90
∴∠BAD＝∠C
∵AE＝AF
∴∠AEF＝∠AFE
∵∠AEF＝∠BAD+∠ABE,∠AFE＝∠C+∠CBE
∴∠ABE＝∠CBE
∴BE平分∠ABC