本文目录索引

• 1，设A为n阶方阵,若A与所有n阶方阵乘法科幻,则A一定是数量矩阵
• 2，证明：与任意n阶方阵都乘法可交换的方阵一定是数量矩阵。
• 3，线性代数的基础解系怎么求？？
• 4，1.设A为n阶方阵，且满足AA^T =E和|A|=-1，证明行列式|E+A|=0

1，设A为n阶方阵,若A与所有n阶方阵乘法科幻,则A一定是数量矩阵

A与所有n阶方阵乘法可交换，我们只需取第一种初等矩阵Pi(k)（k不等于零和1）进行验证即可。PA的第i行的元素是A的第i行元素的k倍，AP的第i列的元素是A的第i列的元素的k倍，其它元素和A的元素相同。由已知PA=AP可得，A的第i行第i列处的元素有可能不为零，其它元素（第i行第i列的）均为零；一次类推，可知矩阵A除了主对角线上的元素之外，其它元素均为零，即A为数量矩阵。另外，数量矩阵与任何方阵（它们是同阶的）的乘积可交换。

2，证明：与任意n阶方阵都乘法可交换的方阵一定是数量矩阵。

证: 设 A=(aij) 与任意的n阶矩阵可交换, 则A必是n阶方阵.

设Eij是第i行第j列位置为1,其余都是0的n阶方阵.
则EijA = AEij
EijA 是 第i行为 aj1,aj2,...,ajn, 其余行都是0的方阵
AEij 是 第j列为 a1i,a2i,...,ani, 其余列都是0的方阵
所以当i≠j时, aij=0.
所以A是一个对角矩阵.

设E(i,j)是对换i,j两行的初等矩阵.
由E(i,j)A=AE(i,j)可得
aii=ajj

所以A是主对角线元素相同的对角矩阵, 即数量矩阵.

3，线性代数的基础解系怎么求？？

基础解系是 (9, 1, -1)^T或 (1, 0, 4)^T。 解：方程组 同解变形为4x1-x2-x3 = 0 即 x3 = 4x1-x2 取 x1 = 0， x2 = 1， 得基础解系 (9, 1, -1)^T; 取 x1 = 1， x2 = 0， 得基础解系 (1, 0, 4)^T. 齐次线性方程组的解集的极大线性无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。基础解系是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，是针对有无数多组解的方程而言的。 基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异，但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。 扩展资料 极大线性无关组基本性质 （1）只含零向量的向量组没有极大无关组； （2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身； （3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量； （4）齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。 （5）任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 （6）一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。 （7）若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。 参考资料来源：百度百科-基础解系

4，1.设A为n阶方阵，且满足AA^T =E和|A|=-1，证明行列式|E+A|=0

第一个等式是因为(E+A')=E'+A'=(E+A)' 第二个等式是因为一个矩阵的行列式与它的转置的行列式相等。 |A显然是正交矩阵，因此特征值只能有1或-1 又因为|A|=-1，因此特征值肯定有-1（否则的话，所有特征值都是1，其乘积也即行列式|A|=1，而不是-1） 从而A+E必有特征值-1+1=0 则|A+E|=0 扩展资料： ①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。 ②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。 ③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。 参考资料来源：百度百科-行列式