向量的数量积,向量数量积的几何意义是什么？
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1，向量数量积的几何意义是什么？
向量数量积的几何意义：一个向量在另一个向量上的投影。 定义 两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积 两向量α与β的数量积α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是两向量的模θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π) 若有坐标α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那么 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2) 把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影 因此用数量积可以求出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β| 已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积、点积。) 即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b"·不可省略若用×则成了向量积 扩展内容： 向量积性质 几何意义及其运用 叉积的长度 |a×b| 可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。 [1] 代数规则 1.反交换律：a×b= -b×a 2.加法的分配律：a× (b+c) =a×b+a×c 3.与标量乘法兼容：(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b) 4.不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0 5.分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。 6.两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。 [1] 拉格朗日公式 这是一个著名的公式，而且非常有用： (a×b)×c=b(a·c) -a(b·c) a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b), 证明过程如下： 二重向量叉乘化简公式及证明 可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。 这里给出一个和梯度相关的一个情形： 这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。 另一个有用的拉格朗日恒等式是： 这是一个在四元数代数中范数乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。 [2] 矩阵形式 给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式： i×j=k； j×k=i ； k×i=j ； 通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设 a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k； b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ； 则a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]。 叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i，j，k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量 [a1, a2, a3] 表示成四元数 a1i+ a2j+ a3k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参看四元数（空间旋转）。 [2] 高维情形 七维向量的叉积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。 七维叉积具有与三维叉积相似的性质： 双线性性：x× (ay+ bz) = ax×y+ bx×z；(ay+ bz) ×x= ay×x+ bz×x； 反交换律：x×y+y×x= 0； 同时与 x 和 y 垂直：x· (x×y) =y· (x×y) = 0； 拉格朗日恒等式：|x×y|² = |x|² |y|² - (x·y)²； 不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：x× (y×z) +y× (z×x) +z× (x×y) ≠ 0。 参考资料：百度百科-向量积
2，向量数量积公式是什么
向量的数量积公式：a*b=|a||b|cosθ a,b表示向量，θ表示向量a,b共起点时的夹角，很明显向量的数量积表示数，不是向量。 一个向量和另个向量在这个向量上的投影的乘积，前提始位置要相同。 已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2 向量的数量积公式：a*b=|a||b|cosθ,a,b表示向量，θ表示向量a,b共起点时的夹角，很明显向量的数量积表示数，不是向量。 一个向量和另个向量在这个向量上的投影的乘积，前提始位置要相同。 拓展资料 平面向量数量积 已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2 性质 设 a、b为非零向量，则 ①设 e是单位向量，且 e与 a的夹角为θ，则 e·a= a·e=| a|| e|cosθ ② a⊥b= a·b=0 ③当 a与 b同向时， a·b=| a|| b|；当 a与 b反向时， a·a=| a|= a或| a|=√ a·a ④|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a与b共线时，即a∥b时等号成立 ⑤cosθ=a·b╱|a||b|（θ为向量a.b的夹角） ⑥零向量与任意向量的数量积为0。 运算 ⑴交换律： a·b= b·a ⑵数乘结合律：（ λa）· b= λ（ a·b)= a·（ λb） ⑶分配律：（ a+b）· c= a·c+ b·c 几何意义 ①一个向量在另一个向量方向上的投影 设θ是a、b的夹角，则|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在向量b方向上的投 影。 ② a·b的几何意义 数量积 a·b等于 a的长度| a|与 b在 a的方向上的投影| b|cosθ的乘积 ★注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量。 ③数量积 a·b的几何意义是： a的长度| a|与 b在 a的方向上的投影| b|cos θ的乘积。 求向量的模的方法 公式法，利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算； (2)几何法，利用向量的几何意义. 请点击输入图片描述 求向量模的最值(范围)的方法： 代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解； (2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.
3，平面向量数量积所有公式
已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积。记作a·b，两个向量数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2。 向量的数量积公式：a*b=|a||b|cosθ,a,b表示向量，θ表示向量a,b共起点时的夹角，很明显向量的数量积表示数，不是向量。 扩展资料： 数量积的性质 设a、b为非零向量，则 1、设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a=a·e=|a||e|cosθ 2、a⊥b等价于a·b=0 3、当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b| ；a·a=|a|2=a2或|a|=√a·a 4、|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a与b共线时，即a∥b时等号成立 5、cosθ=a·b╱|a||b|（θ为向量a.b的夹角） 6、零向量与任意向量的数量积为0。 参考资料来源：百度百科-平面向量数量积
4，向量数量积有什么意义
向量的数量积是定义在 向量空间 上的最基本运算，有了数量积，【线性空间】就可以成为【欧氏空间】，对空间中的向量定义了数量积（内积），即赋予了空间中的元素以【长度】和【夹角】等度量性质，
|a|^2=a.a
cos=a.b/|a||b|。
因此，数量积是欧氏空间的本质属性，你现在是只在2维或3维坐标空间中讨论，对度量性质已默认接受，反过来对数量积的必要性就不好理解。但对一般抽象空间通常我们只定义其数量积，但由此可得到其所有相关的度量，那时你就好理解了。
即使对非专业的同学而言，比如以后学习到线性代数 或 高等数学中的 切线、切平面、第二型曲线、曲面积分等等的定义和计算都是以 数量积 作为几何基础的。