本文目录索引

• 1，高数题目:1:为什么说"一切初等函数在其定义域内连续"错误,而要说是"在其定义区间"两者有区别吗?真
• 2，课本上有 所有初等函数在他们任何定义区间内是连续的，但初等函数在定义域内不一定连续。
• 3，初等函数在其定义域内一定可导吗？
• 4，一切初等函数在其定义域内都是连续的，这句话为什么是错误的？

1，高数题目:1:为什么说"一切初等函数在其定义域内连续"错误,而要说是"在其定义区间"两者有区别吗?真

1。比如说，y=1/x 在定义域内不连续，因为x=0是第二类间断点。但是在每个定义区间内是连续的。
2。不用想的太复杂，你这样想，按照这句话的条件，如果函数只在某几点可导，就能推出在整个区间内连续。这不开玩笑么？
或者，掐准定义，函数在此点可导只能推出在此点连续，与其他点一点关系都没有。
同样的问题还有“若函数f(x)在x0点导数大于0,则f(x)在x0的某个邻域内单调递增”。也是错误的。

2，课本上有 所有初等函数在他们任何定义区间内是连续的，但初等函数在定义域内不一定连续。

怎么说呢？
初等函数在他们任何定义区间内是连续的。
但是不代表初等函数的定义域是连续的。
对于y=√（cosx-1）来说，其间断的缘故是定义域不连续。它不存在任何定义域区间，它的每个定义域区间都是一个单独的点。所以也可以说这个函数不是在定义域内不连续，而是因为定义域不连续而不连续的。

那么什么叫定义域内不连续呢？
比方说分段函数
f（x）=1，（x≥0）；-1（x＜0）
这个函数的定义域是全体实数，是个连续的区间，x=0是其定义域范围内，x=0的某个邻域也是其定义域范围内，但是这个函数在x=0处不连续。这就是真真正正的定义域内不连续。x=0点的邻域内有定义，但是在x=0点处不连续。

定义域内连续，是需要把定义域不连续导致的不连续除开的。

3，初等函数在其定义域内一定可导吗？

初等函数在定义域内一定连续,但不一定可导! 举例如下: y=|x|就是y=sqrt(x^2),它是基本初等函数y=sqrt(u)和u=x^2的复合函数,是初等函数。(其中x^2表示x的平方,sqrt(x)表示x的算术平方根) 但y=|x|在x=0点处的左导数为-1,右导数为1,因此该函数在x=0处不可导! 另举反例:y=x^(1/3)(即x的立方根)是基本初等函数,但在x=0处不可导!

4，一切初等函数在其定义域内都是连续的，这句话为什么是错误的？

是错的，应该是初等函数在其定义区间内是连续的，定义区间是指包含在定义域内的区间。但是基本初等函数在其定义域内连续是正确的说法。 初等函数在其定义区间内连续，而函数的定义区间与函数的定义域并不完全相同，因为函数的定义域有时是由一些离散的点及一些区间构成的，对于定义域内的这些孤立的点，根本谈不上函数的连续问题，而只能在定义域内的区间上讨论连续性。这些区间，我们称之为函数的定义区间。初等函数在其定义域内的区间（即定义区间）上是连续的。 扩展资料 连续函数的性质： 1、在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。 2、连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。 3、连续函数的复合函数是连续的。 4、一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。